COMBINAZIONI DI CLASSE AVENTI UNA SOMMA DATA (per esperti)

Sui settimanali o sui mensili che si occupano o che si sono occupati del gioco del Lotto sembra che non sia mai stato trattato il problema di come calcolare il numero delle combinazioni di classe data aventi una somma data. Esempio, quante sono le combinazioni di classe 2 (ovvero gli ambi), che hanno per somma, per esempio, 105? E’ chiaro che si tratta della somma dei due numeri componenti l’ambo. Così per tutte le altre combinazioni di classe 3 (i terni), di classe 4 (le quaterne) e di classe 5 (le cinquine).

Solo nel Dicembre 1972, sul nr. 12 del mensile: Notiziario del Lotto, edito in Parla, esposi il problema, facendo conoscere la soluzione data dal matematico H. Laurent, di come calcolare la probabilità per una data somma addizionando i 5 numeri estratti. Per calcolare detta probabilità bisogna prima calcolare il numero delle cinquine che abbiano tutte la stessa somma (addizionando i cinque numeri rispettivi). Esempio, i numeri contenuti nell’urna del gioco del Lotto sono 90 e cioè i primi novanta della serie finita naturale: 1, 2, 3, ….., 89, 90. Ogni sabato vengono estratti 5 numeri; quante cinquine delle 43  949  268 che si possono formare con i 90 numeri, hanno per somma 437? Con l’apposita formula di H. Laurent si ottiene: 3, infatti solo le tre seguenti cinquine hanno per somma 437:

     83     87     88     89     90

         84     86     88     89     90

         85     86     87     89     90

La somma dei cinque estratti può variare da 15, per la cinquina: 1, 2, 3, 4, 5, a 440 per la cinquina: 86, 87, 88, 89, 90. La probabilità di sortita di una cinquina di somma 437 è: p = 3/43949268 = 0,000000068, un evento tanto raro, ma possibile, e nell’ipotesi che ogni sabato venga estratta una cinquina diversa sulle dieci ruote, occorrerebbero circa 845 secoli! [ads1]

Il problema generale di come calcolare il numero delle combinazioni di classe data aventi una somma data, fu trattato nel 1884 dal Prof. Pietro Boschi; prima di lui, ma solo per le combinazioni di classe 3 se ne erano occupati il Dott. C.M. Piuma e il Prof. G.B. Marsa.

Boschi indicava con il simbolo Su,r il numero delle combinazioni di classe r formate con numeri differenti della serie indefinita: 1, 2, 3, …. ed aventi ciascuna la somma u: mentre indicava col simbolo Tu,r,n il numero delle combinazioni di classe r formate coi numeri differenti della serie finita: 1, 2, 3, ….., n-1, n ed aventi ciascuna la somma u. In tutti e due i casi si dovrà avere:

              r(r+1)

u        ————

                  2

poiché la combinazione di classe r formata coi più piccolo numeri è: 1, 2, 3, …., r-1, r. Si avrà poi:

                                                      r(r-1)

Tu,r,n, = Su,r    per u       n + —————-

                                                        2

giacché non è possibile che nelle combinazioni di Su,r possano essere compresi un numero superiore a n, dovendo la somma degli altri r-1 numeri essere almeno uguale a 1+2+3+ ….. +r-1 = r(r-1)/2. Nella Tu,r,n dovrà poi essere:

        r(2n-r+1)

u        ————–

                  2

poiché la combinazione formata coi numeri più alti è: n-(r-1), n-(r-2), ….., n-1, n, la quale ha appunto per somma il numero dato dal secondo membro della precedente relazioni. [ads2]

Il prof. Pietro Boschi avvertiva di intendere il simbolo ur come il più piccolo resto positivo della divisione ordinaria di u per i simboli ur e (u)r hanno lo stesso significato; così per semplicità di scrittura indicava con ur,s,t ciò che viene rappresentato con il simbolo ( (ur)s)t.

Boschi evidenziò che: Tu,r,n = Tr(n+1)-u,r,n perché se si stabilisce che sia una combinazione di classe r, di somma u, formata coi numeri 1, 2, 3, …., n la seguente: a1, a2, a3, …., a e formiamo la seguente combinazione:

n+1-a1, n+1-a2, n+1-a3, …., n+1-ar

questa è la combinazione di classe r formata evidentemente con numeri differenti della serie: 1, 2, 3, …, n ed ha per somma r(n+1)-u.

Boschi così ragionava: consideriamo tutte le combinazioni che sono rappresentate dal simbolo Su,r ed immaginiamo che in ciascuna di queste combinazioni gli r numeri, che vi entrano, siano scritti in ordine di grandezza crescenti e cerchiamo quante sono le combinazioni che cominciano con un certo numero t. Evidentemente esse sono tante quante sono le combinazioni di classe r-1, le quali si potranno formare coi numeri: t+1, t+2, t+3,… in modo però che la somma sia u – rt; quindi il numero delle combinazioni, le quali cominciano con t verrà rappresentato col simbolo Su-rt,r-1. Ora il numero Su,r delle combinazioni cercate si compone del numero di quelle che cominciano con 1, del numero di quelle che cominciano con 2, ecc; e finalmente del numero di quelle che cominciano col numero più grande possibile v; il qual numero dovrà essere tale che:

v + (v+1) + (v+2) + …. + (v+r-1)

dia una somma non superiore ad u, dunque v sarà l’intero, non superiore più prossimo a:

  r(r-1)

u – ——-

         2

————–

       r

e quindi

         r(r-1)                r(r-1)

      u – ——-   – (u –  ———–)

               2                     2           r

Perciò si avrà:

Su,r = Su-r,r-1 + Su-2r,r-1 + Su-3r,r,1 + ….+ S r(r-1)+     r(r-1)

                                                                            ——    u- ——-

                                                                               2                2      r.

Per una serie indefinita 1, 2, 3, …., con le opportune sostituzioni ed esemplificazioni, Boschi riesce a stabilire che:

          u – 2 + ur

         Su,2 =  —————     (1)

                               2

esempio: sia u = 105, per r=2 (ambi), risulta che il resto di 105:2 è: ur = 1052 = 1, dunque S105,2 = (105-2+1)/2 = 52.

Poiché risulta:

          x=2

Tu,2,n = Su,2 –              Su-n-1+x, 2     (2)

                            x=1

(per brevità non se ne dà la dimostrazione), convenendo che sia Su,r = 0 tanto per u intero positivo minore di r(r+1)/2, come per u = 0, quanto per u intero negativo, con queste ipotesi la (2) è vera per tutti i valori di u anche inferiori a n+1.

Si ha anche:

Su+r,r = Su,r-1 + Su,r

perché il numero delle combinazioni che contengono un certo elemento più il numero delle combinazioni che non lo contengono è uguale al numero delle combinazioni Su+r,r. La predetta eguaglianza sussiste anche per valori di u uguali o superiori a r(r+1)/2; volendo che la medesima stia per ogni valore intero di u, bisognerà ritenere Sv,r = 0, quando v è minore di r(r+1)/2. Se vogliamo che la medesima stia anche per u = 0, si ha SO,r + SO, r-1 = 0 e siccome Su,1 = 1, per ogni valore intero di u, così si avrà: [ads1]

SO,r = (-1) r-1

Dunque, si ha che la (2) è:

Tu,2,n = Su,2 – Su-n,2 – Su-n+1,2.

Allora le ipotesi fatte, quando u < n e quando sia u – n che u-n+1 sono negativi, si ha dalla (2) che Tu,2n = Su,2

Per u> n+1 dalla (1), semplificando si ottiene che:

            2n – u + 1 + u2 – (u-n)2 – (u-n+1)2

Tu,2,n = ——————————————–

                                      2

Sintetizzando, per il caso delle combinazioni di classe r=2 che si formano coi numeri differenti della serie finita: 1, 2, 3, …., 90 aventi ciascuna la somma u risulta:

per u  91 è:

                 u-2+u2

Tu,2,90 —————–

                         2

e per 91 < u       179 risulta:

                    180 – u + u2

Tu,2,90 =  —————-

                          2

Esempio, sia u = 105 dalla seconda formula si ha: T105,2,90 = (180-105+1)/2 = 38. Ancora un esempio, per u = 88 e r = 2 risulta T88,2,90 = (88-2+0)/2 = 86/2 = 43.

(Guido Manfredonia)

Indicazioni di gioco dalle estrazioni del lotto di oggi 06/07/2017 [ads2]

Bari ambata 34, per ambo 34.12.14.42